Обобщение как источник новых математических задач

Обобщения при обучении решению математических задач могут способствовать возникновению новых задач. Новые задачи могут появиться как при исследовании конкретной задачи и ее решения, так и при исследовании обобщенной задачи и ее решения.

К возникновению новой обобщенной задачи могут привести индуктивные обобщения. Обратная операция – специализация, позволяет от обобщенной задачи перейти к конкретным задачам.

Так же с помощью обобщений по аналогии из одной конкретной задачи получают новые конкретные задачи, из обобщенной задачи – новые обобщенные задачи.

Получение новых задач важно тем, что при составлении задач учащиеся усваивают структуру задачи, взаимосвязь данных, данных и искомых, обнаруживают внутреннюю связь между задачами.

Для того чтобы получить новые задачи при помощи обобщений, используют следующие приемы:

1) обобщение данных при сохранении искомых;

2) обобщение (добавление) искомых при сохранении данных;

3) обобщение данных и искомых.

Рассмотрим подробнее эти приемы.

Обобщение данных при сохранении искомых

Замена одних данных (или части данных) другими при сохранении искомых приводит к применению разнообразных приемов и методов решения, казалось бы, близких по содержанию задач. При этом может применяться не один прием, а широкий спектр методов.

Изменением условия задачи при сохранении требования может являться: замена данных более общими; замена одних отношений между объектами задачи другими.

Замена числовых данных задачи параметром часто приводит к обобщенной задаче. Специализация обобщенной задачи помогает получить целый класс аналогичных задач. Конкретные числовые данные можно заменять буквами не все сразу, а последовательно.

Пример 25. «Найти, если сторона нижнего основания равна 10 м, сторона верхнего 5 м и высота пирамиды 6 м».

Если числа 10, 5, 6 заменить буквами, например а, b, h, получим обобщенную задач: «Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна a, сторона верхнего b и высота пирамиды h». Перейдя от задачи «в числах» к задаче «в буквах», мы воспринимаем данные величины как переменные.

Обобщенная задача дает возможность составить и решить еще несколько типов задач, в которых одна из величин является искомой, а остальные – данными.

К появлению новых задач так же приводит обобщение понятий, данных в задаче.

Пример 26. Найти диагональ куба, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).

Обобщив понятие куба до понятия прямоугольного параллелепипеда, получим новую задачу:

Пример 27. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).

Замена одних отношений между объектами задачи другими тоже может привести к появлению новых задач.

Пример 28. Как изменится частное двух чисел если делимое увеличить в три раза?

Можно исследовать эту задачу и получить новые, размышляя, что произойдет с частным, если делимое увеличить в 3 раза, уменьшить в 3 раза, если изменить делитель, если изменить одновременно делимое и делитель? Возникает целая серия задач, порожденных данной задачей, которые можно записать в таблицу 3.

Табл. 3

После решения конкретных задач полезно сделать обобщения: если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же положительное число раз, то не изменится; если делимое увеличить, а делитель уменьшить в одно и то же положительное число раз, то частное увеличиться в квадрат этого числа; если делимое уменьшить, а делитель увеличить в одно и то же положительное число раз, то частное уменьшится в квадрат этого числа.

Это интересно

Распределенный учебный процесс
Единственный способ решить проблему ограниченности компьютерных ресурсов в школе – полноценно включить в учебный процесс домашние компьютеры учеников, то есть, построить распределенный учебный процесс. Для этого и необходимы электронные средства обучения нового поколения. О технологии «Перспективно ...

Структура дидактической игры
Независимо от вида дидактическая игра имеет определённую структуру, отличающую её от других видов игр и упражнений. Игра, используемая для обучения, должна содержать, прежде всего, обучающую, дидактическую задачу. Играя, дети решают эту задачу в занимательной форме, которая достигается определённым ...

Сравнение и анализ – необходимые условия обобщения
Обязательным условием всякого обобщения является сравнение. Как уже было отмечено, сравнение является основой эмпирических обобщений. П.М. Эрдниев при обучении математике на основе теории укрупнения дидактических единиц придает большое значение основным формам сравнения: сопоставлению и противопост ...

Навигация по сайту

• Главная
• Инновационные педагогические технологии
• Сущность воспитания творческой личности
• Формы и средства обучения
• Одаренность как отклонение от нормы
• Современные проблемы семейного воспитания
• Особенности воспитания детей
• Разное по педагогике
• Карта сайта
• Контакты