Разное по педагогике » Обобщения при обучении решению математических задач » Обобщение как источник новых математических задач

Обобщение как источник новых математических задач

Страница 2

Изменяя отношения между данными задачи, делая их более общими так же можно получить новые задачи.

Пример 29. Доказать, что сумма расстояний, от точки пересечения медиан правильного треугольника до его сторон постоянна.

От этой задачи можно перейти к следующей:

Пример 30. Доказать, что сумма расстояний, от точки взятой произвольно внутри правильного треугольника до его сторон постоянна.

Обобщение (добавление искомых) при сохранении данных

Новая математическая задача может быть получена с помощью изменения требования задачи при сохранении условия: добавления новых заключений; обобщения искомых.

В большинстве случаев в задаче встречается лишь один вопрос, одно заключение, но содержащаяся в задаче информация иногда позволяет сделать и другие выводы (ответить на другие вопросы, сделать другие заключения), т.е. добавить новые заключения при сохранении данных.

Пример 31. Даны две прямые a и b. Доказать, что любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны.

Вначале требуется доказать параллельность прямых a и b. Тогда прямая, пересекающая a будет не только пересекать прямую b, но и обладать свойствами над этими прямыми: их накрест лежащие, соответственные и углы будут равны, а сумма односторонних будет равна 1800. Поэтому можно сформулировать более общую задачу.

Пример 32. Даны две прямые a и b. Доказать, что любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны, их накрест лежащие, соответственные и углы будут равны, а сумма односторонних будет равна 1800.

Задачи, которые приучают учащихся рассматривать всевозможные заключения из данных посылок, что бывает необходимо при решении многих задач на доказательство, при доказательстве различных теорем, иногда называют задачами «без вопросов». На основе решения таких задач удобно рассматривать обобщения о искомых в задаче.

Пример 33. Дана прямоугольная призма, в основании которой трапеция. Установите всевозможные взаиморасположения прямых, содержащих ребра данной призмы.

Прямые, содержащие ребра данной призмы могут

находиться в трех положениях: быть параллельны,

пересекаться, быть скрещивающимися. Учащиеся, находя

Рис. 5

параллельные, скрещивающиеся и пересекающиеся прямые, делают выводы о свойствах призмы: что для каждой прямой, находящейся в плоскости одного основания всегда есть прямая, параллельная в плоскости другого основания; все прямые, содержащие боковые ребра параллельны; каждая прямая, содержащая боковое ребро, пересекается с двумя прямыми, содержащими ребра оснований, с остальными скрещивается.

Обобщение данных и искомых

Нередко обобщение данных задачи приводит к обобщению искомых.

Так, обобщение понятий, в условии задачи может привести к обобщению вопроса задачи. Таким образом, теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.

Пример 34. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пример 35. В произвольном треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Обобщение данных и искомых задачи до параметра так же приводит к составлению новых задач. Например, зная, что правильный треугольник определяется любым элементом, можно составить задачи, связывающие между собой элементы правильного треугольника: стороны, медианы, радиусы вписанной и описанной окружностей.

Таким образом, мы показали как обобщения при обучении решению математических задач приводят в возникновению новых задач. Это происходит в результате исследования задач и их решений, а так же исследований обобщенных задач и их решений. Используя обобщение и специализацию, учащиеся могут сами составлять новые задачи, осуществляя замену части данных другими при сохранении искомых, добавляя новые заключения или обобщая искомые.

Страницы: 1 2

Это интересно

Организация практических занятий, внеклассной работы и требования к рабочему кабинету
Важное место при изучении «Основ безопасности жизнедеятельности» занимает отработка практических навыков самозащиты и оказания помощи окружающим людям. Часы, отведенные на практические занятия, учитель использует в зависимости от результатов усвоения учащимися содержания конкретных тем. Практически ...

Диагностика уровня развития познавательного интереса учащихся
Изучение психолого-педагогической литературы, а также опыта практикующих педагогов позволило нам выявить главные факторы формирования устойчивого познавательного интереса учащихся на уроках информатики и ИКТ. На основе определения ключевого понятия познавательный интерес – это потребность в знаниях ...

Введение в педагогику свободного воспитания
Свободное воспитание неразрывно связано с той гуманистической педагогической традицией, корни которой уходят в античную эпоху. Мыслители Древней Греции (V-IV вв. до н.э.) рассматривали воспитание и образование как важнейшие способы подготовки индивида к жизни, достойной человека, как эффективные ср ...

Обобщение как источник новых математических задач

Навигация по сайту